범주론에서 요네다 보조정리([米田]補助定理, 영어: Yoneda lemma)는 특정한 범주를 집합 값의 함자 범주에 묻는 함자를 만들 수 있게 하는 보조정리다. 군론의 케일리의 정리를 크게 일반화한 것이다. 대수기하학과 표현론에서 중요하게 쓰인다.
보조정리[편집]
가 국소적으로 작은 범주(임의의 두 대상 사이의 사상들의 모임이 항상 집합인 범주)라고 하자. 각 대상
에 대해, 다음과 같은 함자가 존재한다 (
는 집합의 범주).
![{\displaystyle \hom(A,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2559f47c30b79c0ccd01c816634c5b04a2030ec)
![{\displaystyle \hom(A,-)\colon B\mapsto \hom(A,B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352bfe2fff8a944b43e35a14072d554c5efc7d29)
이 함자에서, 사상
의 상은 다음과 같다.
![{\displaystyle \hom(A,f)\colon \hom(A,B)\to \hom(A,C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96bd1b1229294428aa65c223e20d9a20b891e93c)
![{\displaystyle \hom(A,f)\colon g\mapsto f\circ g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8bc5dba99a2d1133377d187bd0482deb6da8415)
마찬가지로, 다음과 같은 함자가 존재한다 (
는 반대 범주).
![{\displaystyle \hom(-,A)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/612dc1d7ad741be900747c1803e35dfe50069caa)
![{\displaystyle \hom(-,A)\colon B\mapsto \hom(B,A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d181638a352d99f512d32202ac37d3007c6cf0)
![{\displaystyle \hom(f,A)\colon \hom(C,A)\to \hom(B,A)\qquad (f\colon B\to C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81e2d135c302a2ea8ee5989bb5d2ccd338f12eb)
![{\displaystyle \hom(f,A)\colon g\mapsto g\circ f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d3e551b37fb20706923928de9a1e4e67085d5a)
그리고 함자
가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 따르면, 모든 대상
에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.
![{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)\cong F(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53fcd01baa92393b0d7c437659aa15d87922441)
이 때,
은 모든 자연 변환
들의 집합이다.
는
의 상이다.
위의 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같다.
![{\displaystyle \Phi \mapsto \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})\in F(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b170092162afe0d74e140a4adfc662da42fff5f3)
이를 표준적으로 만드는 두 함자는 다음과 같다 (
는 함자
와 자연 변환의 범주).[1]:61
![{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464b1ed568e2c44ae1dde38de8169277696cb353)
![{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d8e2b5f8575a7e397cffaabe4491a7e8db7a06)
![{\displaystyle -(-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f7a0b5a557cadb61731b43efe15797f42d465d)
![{\displaystyle -(-)\colon (A,F)\mapsto F(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1039bad8bc90f3561ebe08f4b7a7d1e35488592)
즉, 위 일대일 대응들은 이 두 함자 사이의 자연 동형을 이룬다. 첫 번째 함자에서, 사상
의 상은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )\colon \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)\to \operatorname {Nat} (\hom(B,-),G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa6ee5aff226a1144aa8e23ebd7cda42f301c5ee)
![{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(f,-),F)=\operatorname {Nat} (\hom(f,-),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(A,-),\Phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dca7dd363425b47ceb153d98c023769f7f1bbcd7)
![{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )\colon \Psi \mapsto \Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e623edd7aa44baad3df0aa742a64419363666ee)
두 번째 함자에서, 사상
의 상은 다음과 같다.
![{\displaystyle \Phi _{f}\colon F(A)\to G(B)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded4f0ebf753709adaa9396df99986289d877ee2)
![{\displaystyle \Phi _{f}=\Phi _{B}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290bffe5123b384404d8d782a01a30d5eff01996)
마찬가지로, 모든 함자
및 대상
에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.
![{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)\cong F(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8653b450338738d20ed1792e97e14050bb6cff1e)
이 때
는 자연 변환
들의 집합이다.
는
의 상이다.
이 일대일 대응
![{\displaystyle \Phi \mapsto \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})\in F(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b170092162afe0d74e140a4adfc662da42fff5f3)
들은 함자
![{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4824ce18e5d3121e617f625135a2b9630c993854)
![{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)'\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3192cdc6a1f0d036f6b37b57f4b70bb3f68428e4)
![{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )\colon \operatorname {Nat} (\hom(-,B),F)\to \operatorname {Nat} (\hom(-,A),G)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c78346a489d943e936fc7af29052294a8c4cbc)
![{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(-,A),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(-,f),F)=\operatorname {Nat} (\hom(-,f),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1bbbd18c75ace525f5e53b6ed031ff7566e1fd8)
![{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )\colon \Psi \mapsto \Phi \circ \Psi \circ \hom(-,f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc7b272da463d1971d3829138decbed8cf8fd308)
와
![{\displaystyle -(-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b06a25354abd64809ac0e2aefa1da70f6ea0076a)
![{\displaystyle -(-)'\colon (A,F)\mapsto F(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34bf23d08a14469724d8427d923e3ab99154b20)
![{\displaystyle \Phi _{f}\colon F(B)\to G(A)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62cf446df587ae868e861032adf85580dd041be)
![{\displaystyle \Phi _{f}=\Phi _{A}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee9d98bcee6582defef7eefc5de9f5592841001)
사이의 자연 동형을 이룬다.
쌍대성에 따라, 함자
가
인 경우를 증명하면 충분하다. (
의 경우,
를 그 반대 범주로 대체한다.)
임의의 자연 변환
에 대해
를 생각할 수 있다.
는
함자를
의 원소로 옮겨야 하고,
이므로,
임을 알 수 있다.
이제, 모든
에 대해
인 유일한 자연 변환
를 대응할 수 있다는 것만 증명하면 된다. 이는 다음과 같은 가환 그림과 그림 쫓기(영어: diagram chasing)를 사용하여 증명할 수 있다.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b1/YonedaLemma-02.png)
자연 변환
![{\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863f6274a94ec7dda143c883170571f8f55183bd)
은 자명하게
를 만족한다. 반대로, 자연 변환의 정의에 따라 위 가환이 성립하므로,
를 만족하는 자연 변환은 위 자연 변환밖에 없다. 다시 말해,
의 선택에 따라 자연 변환이 결정되므로 증명이 완성된다.
요네다 매장[편집]
국소적으로 작은 범주
가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 대상
와 함자
를 대입하면 다음 전단사 함수를 얻는다.
![{\displaystyle \hom(A,B)\cong \operatorname {Nat} (\hom(-,A),\hom(-,B))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856cd15a4dd51e2f92aae2a24e7a98394b9e9785)
![{\displaystyle f\mapsto \hom(-,f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e5b82b9793089854d410969f3cbd1c966a165e)
사실, 이는 함자 범주
로 가는 함자
![{\displaystyle \hom(-,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5a81f9189dd3c908cddc24ac90621e483a4995)
![{\displaystyle \hom(-,-)\colon A\mapsto \hom(-,A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc00ed572fa9731706d16a57aa922d926d4c1a9)
![{\displaystyle \hom(-,-)\colon f\mapsto \hom(-,f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2ed6d78b184fc0926c44b1be21a4d35ed0b71c)
를 임의의 사상 집합으로 제한한 것이다. 따라서, 이 함자는 충실충만한 함자이다. 다시 말해, 이 함자는 범주
를 그 성질 그대로
안에 옮겨놓는 역할을 한다. 이 함자를 요네다 매장([米田]埋藏, 영어: Yoneda embedding)이라고 부른다.
마찬가지로, 요네다 보조정리에 따라, 함수
![{\displaystyle \hom(A,B)\cong \operatorname {Nat} (\hom(B,-),\hom(A,-))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9407e10b234183c3ad9d91cfe42c24cc2e35ecd4)
![{\displaystyle f\mapsto \hom(f,-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a404adfa3395f25cc34bf4698ba1c9204936c0)
는 전단사 함수이며, 다음과 같은 충실충만한 함자가 존재한다.
![{\displaystyle \hom(-,-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35bbc8cdc3e2d038f9cc44e3fca834d092d38c7)
![{\displaystyle \hom(-,-)'\colon A\mapsto \hom(A,-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9c66adfbb449491ce4c60d7316a11a90d868b9)
![{\displaystyle \hom(-,-)'\colon f\mapsto \hom(f,-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e501f4abcf39ded3ba90e69129081f83cdf8f872)
일본의 수학자 요네다 노부오가 1954년에 발표하였다.[2]
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]